Преобразование и сложение скоростей

Рис.6.7. Разглядим движение вещественной точки

В системе X

В системе

Из формул (6.2) получаем

Разделив 1-ые три равенства на 4-ое, получаем формулы для преобразования скоростей при переходе их одной системы отсчета в другую:

(6.3)

При эти соотношения перебегают в преобразования Галилея в традиционной механике.

Оборотные преобразования имеют вид:

Если тело движется параллельно оси x,

· его скорость относительно системы X совпадает с ,

· а Преобразование и сложение скоростей скорость относительно системы - с .

В данном случае закон сложения скоростейвоспринимает вид (6.4)

Если скорость частички в одной системе отсчета =c, то в другой системе, согласно (6.4) эта скорость равна

Мы получили, что скорость света схожа во всех инерциальных системах отсчета.


Преобразования для импульса и энергии

Уравнения Ньютона

· инвариантныпо отношению к преобразованиям Галилея.

· неинвариантными к Преобразование и сложение скоростей преобразованиям Лоренца.. А именно, не инвариантен к преобразованиям Лоренца вытекающий из законов Ньютона закон сохранения импульса.

Импульс - в теории относительности, как и в Ньютоновской механике, равен произведению массы тела на его скорость

(6.5)

Масса. Однако в выражении (6.5) масса не является неизменной величиной, а находится в зависимости от скорости по закону

. (6.6)

Величина именуется массой покоя Преобразование и сложение скоростей - это инвариантная величина, масса носит заглавие релятивистской массы.

Рис.6.8. Зависимость релятивистской массы от скорости .

Продифференцировав выражение (6.5) по времени, получаем

релятивистское выражение второго закона Ньютона

Чтоб отыскать релятивистское выражение для энергии, умножим это уравнение на перемещение частички :

Правая часть этого выражения равна работе, совершаемой над частичкой за время dt.

Как надо из закона сохранения энергии, эта Преобразование и сложение скоростей работа равна приращению энергии частички:

Преобразуем приобретенное выражение:

Проинтегрировав, имеем

Экспериментально подтверждено, что константа в этом выражении равна нулю.

Тогда полная энергия частички (6.7)

Если скорость частички равна нулю, энергия - это энергия покоя.

· Она не связана ни с каким движением частички.

· Для случайного тела энергия покоя равна сумме энергий покоя всех его частиц Преобразование и сложение скоростей, кинетических энергий этих частиц в системе центра тяжести тела и возможных энергий взаимодействия этих частиц.

· В энергию покоя, как и в полную энергию, не заходит возможная энергия тела в поле наружных сил.

Кинетическая энергия равна разности меж полной энергией и энергией покоя частички:

В случае малых скоростей эта формула преобразовывается к виду Преобразование и сложение скоростей:

Мы получили традиционное выражение для кинетической энергии частички.

Решив вместе уравнения (6.5), (6.6) и (6.7), получаем: . (6.8)

При имеем:

Это выражение отличается от традиционного выражения для кинетической энергии слагаемым .

Из выражения (6.7) следует еще одна формула для энергии: .

Тогда импульс частички

Получим еще одну формулу для энергии.

Из замедления времени получаем

где Преобразование и сложение скоростей - просвет времени меж 2-мя происходящими с частичкой событиями, отсчитанный по часам в той системе отсчета, в какой частичка движется,

- тот же просвет времени, отсчитанный по часам, передвигающимся вкупе с частичкой.

Подставив это выражение в формулу (6.7), имеем (6.9)

Получим сейчас преобразования импульса и энергии.

Из (6.8) следует (6.10)

Масса является инвариантом, как следует, и выражение (6.10) представляет собой Преобразование и сложение скоростей инвариант, т.е. имеет схожую величину во всех инерциальных системах отсчета. Сами по для себя величины E и не являются инвариантами, потому что они зависят от скорости, которая изменяется при переходе из одной системы отсчета в другую.

1. Будем считать, что частичка движется параллельно оси x,

· в системе скорость частички Преобразование и сложение скоростей равна .

· Тогда согласно релятивистской аксиоме сложения скоростей скорость в системе Xравна

6.11)

Тут - скорость, с которой система движется относительно системы X.

Энергию в системе X выразим через .

Для этого вычислим выражение :

Тогда энергия

Приобретенная формула справедлива при хоть какой обоюдной ориентации векторов и . Это значит, что в преобразованиях участвует только Преобразование и сложение скоростей компонента импульса .

Потому что ,

выражение для импульса воспринимает вид = .

Подставим в него из (6.11), имеем

2. будем считать, что

· в системе частичка движется параллельно оси и, как следует, .

· В системе Xкомпонента скорости частички по оси x равна ,

так что .

Соответственно,

Потому что , то из преобразований Лоренца для скоростей , и

Аналогичный итог выходит для составляющие Преобразование и сложение скоростей .

Тогда преобразования для энергии и импульса принимают вид:

Эти формулы совпадают с формулами (6.2) преобразования координат и времени.

По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом пространстве можно найти четырехмерные векторы.

Под четырехмерным вектором понимают совокупа 4 величин преобразующихся по этим же формулам, что и ct, x,y, z.

Квадрат такового вектора равен .

Вследствие того, что составляющие Преобразование и сложение скоростей преобразуются так же, как координаты, квадрат четырехмерного вектора оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

Тогда совокупа величин образует четырехмерный вектор, именуемый вектором энергии-импульса. Квадрат этого вектора является инвариантом и равен

рис.6.9. Зависимость релятивистского импульса от скорости .

При малых скоростях релятивистский импульс совпадает с традиционным.


preobrazovanie-perenosa-i-odnorodnie-koordinati-zadanie-affinnih-preobrazovanij-20-koordinatnie-sistemi-21-zadanie.html
preobrazovanie-rekursivnih-svyazej.html
preobrazovanie-simvolov-iz-kodirovki-ascii-v-unicode.html