Преобразования определителя не изменяющие его величины.

Определитель не изменяется при транспонировании. IAI=IAI стТ. Если один определитель получен из другого перестановкой 2-ух строк, то все члены первого определителя будут членами и во 2-м, но с оборотными знаками, т. е. от перестановки 2-ух строк определитель только меняет символ.Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк Преобразования определителя не изменяющие его величины. прибавляются соответствующые элементы другой строчки, умноженные на одно и то же число. Потому что число k может быть и отрицательным, то определитель не изменяется и при вычитании из одной его строчки другой строчки, умноженной на некое число. Вообщем, определитель не изменяется, если к одной из его строк прибавляется неважно Преобразования определителя не изменяющие его величины. какая линейная композиция других строк.

Св-ва определителей:1) Неизменный множитель из частей какого или ряда можно выносить за символ определителя. 2) Определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь

ряда равны нулю.3) Определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь

ряда равны нулю.

12. Преобразования определителя изменяющие его величину. Если одна из строк Преобразования определителя не изменяющие его величины. определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. Если один определитель получен из другого перестановкой 2-ух строк, то все члены первого определителя будут членами и во 2-м, но с оборотными знаками, т. е. от

перестановки 2-ух строк определитель только меняет символ.Определитель, содержащий две однообразные строчки, равен нулю. 5) Если все элементы Преобразования определителя не изменяющие его величины. некой строчки определителя помножить на некое число k,

то сам определитель умножится на k. Определитель, содержащий две пропорциональные строчки, равен нулю. Если все элементы i-й строчки, определителя n-го порядка представлены в виде, суммы 2-ух слагаемых: aij = bj + cj ,то определитель равен сумме 2-ух определителей, у каких все Преобразования определителя не изменяющие его величины. строчки, не считая i-й, — такие же, как и в данном определителе, а i-я строчка в одном из слагаемых состоит из частей bj, в другом - из частей cj. 8) Если одна из строк определителя есть линейная композиция его других строк, то определитель равен нулю. Определитель не изменяется, если к элементам Преобразования определителя не изменяющие его величины. одной из его строк прибавляются

соответствующые элементы другой строчки, умноженные на одно и то же число. Потому что число k может быть и отрицательным, то определитель не изменяется и при вычитании из одной его строчки другой строчки, умноженной на некое число. Вообщем, определитель не изменяется, если к одной из Преобразования определителя не изменяющие его величины. его строк прибавляется неважно какая линейная композиция других строк.

13. Лемма о миноре.Пусть дан определитель d порядка n. Берем целое число k, удовлетворяющее

условию 1 ≤ k ≤ n — 1, и в определителе d избираем произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на скрещении этих строк и столбцов, т. е. принадлежащие Преобразования определителя не изменяющие его величины. к одной из избранных строк и к одному из избранных столбцов, составляют, разумеется, матрицу порядка k. Определитель этой матрицы именуется минором k-го порядка определителя d.

Произведение хоть какого минора М k-го порядка на его алгебраическое

дополнение в определителе d является алгебраической суммой, слагаемые, которой получающиеся от умножения членов минора Преобразования определителя не изменяющие его величины. М на взятые со знаком (-1)^S m члены

дополнительного минора М', будут некими членами определителя d, при этом их знаки

в этой сумме совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя. Аij обозначим алгебраическое дополнение элемента аij, т. е. Аij = (-1)^i+j M'.

Утверждение. Определитель d равен сумме Преобразования определителя не изменяющие его величины. произведений всех частей

случайной его строчки на их алгебраические дополнения. (Аналогичное разложение

определителя можно получить и по хоть какому его столбцу.) d = аi1Аi1 + ai2Ai2 + ... + ainAin.

14. Аксиома Лапласса. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк

(либо k столбцов), 1 ≤ k ≤ n — 1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка,

содержащихся в избранных Преобразования определителя не изменяющие его величины. строчках, на их алгебраические дополнения равна

определителю d.

Число миноров, по которым берётся сумма в аксиоме Лапласа, равно числу методов избрать k столбцов из n, другими словами биномиальному коэффициенту (n/k) .

Подтверждение. Разглядим сумму произведений всех частей случайной k-ой строчки матрицы А на алгебраические дополнения соответственных частей хоть какой Преобразования определителя не изменяющие его величины. другой, скажем, i-ой строчки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строчки, не считая i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строчки матрицы A′ являются надлежащие элементы k-ой строчки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две однообразные строчки и, как Преобразования определителя не изменяющие его величины. следует, по свойству матрицы об схожих строчках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех частей i-ой строчки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения частей i-ой строчки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответственных частей i-ой Преобразования определителя не изменяющие его величины. строчки матрицы А. Но элементами i-ой строчки матрицы A′ являются надлежащие элементы k-ой строчки матри- цы А. Таким макаром, сумма произведений всех частей i-ой строчки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех частей k-ой Преобразования определителя не изменяющие его величины. строчки матрицы А на алгебраические дополнения соответственных частей i-ой строчки матрицы А.

Потому что строчки и столбцы матрицы равносильны относительно параметров определителя, аксиому Лапласа можно сконструировать и для столбцов матрицы.

15.Разложение определителя по строке либо столбцу.Обширно известен личный случай аксиомы Лапласа — разложение определителя по строке либо столбцу Преобразования определителя не изменяющие его величины.. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений частей хоть какой её строчки либо столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть A = (aij) — квадратная матрица размера n*n . Пусть также задан некий номер строчки i или номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен Преобразования определителя не изменяющие его величины. по последующим формулам: разложение по i-ой строке:det A=E(от n до j=1)aijAij. Разложение по j-ому столбцу: detA=E(от n до i=1 )aijAij

, где Aij — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j. Aij также именуют алгебраическим дополнением к элементу Преобразования определителя не изменяющие его величины. aij.

Утверждение является личным случаем аксиомы Лапласа. Довольно в ней положить k равным 1 и избрать i-ую строчку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2.Сумма произведений всех частей некой строчки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответственных частей хоть какой другой строчки (столбца) равна нулю Преобразования определителя не изменяющие его величины..

16. Правило Крамера. Вспомогательным определителем Dj для 1<= j<=n именуется пределитель поучаемый из D подменой j-го порядка на столбец свободных членов системы. Справедливы последующие неравенства: biA1j+b2A2j+…+bnAnj=Dj; a1iA1j+a2iA2j+…+anjAnj={ D если i=j,0 в неприятном случае.

Лемма2.Другими словами Преобразования определителя не изменяющие его величины. эта формула гласит, что сумма произведений частей столбца определителя алгебраические дополнения частей другого столбца этого определителя равна нулю , а на свои алгебраические дополнения равна определителю. Аналогично формулируется строчный вариант этой леммы.

Th.Правило Крамера : Если главный опрделитель квадратной СЛАУ отличен от нуля,то эта система имеет единственное решение Преобразования определителя не изменяющие его величины.: x1=D1/D, x=D2/D, . . ., xn=Dn/D.

Способ Крамера просит придлизительно в n раз больше арифметических операций, чем способ Гаусса. Но в приложениях к дифференциальным уравнениям обожают воспользоваться этой рядовой аксиомой линейной алгебры для формулировки единственности решения неких систем дифференциальных уравнений.

Следствие 1:Квадратная однородная СЛАУ имеет ненулевое решение и Преобразования определителя не изменяющие его величины. тогда только тогда , когда главный определитель системы равен нулю.


preparat-56-limfaticheskij-uzel.html
preparat-78-tolstaya-kishki-cherveobraznij-otrostok.html
preparat-dlya-lecheniya-kishechnih-gelmintozov-vizvannih-kruglimi.html